基于表现性评价的小学数学开放性作业设计与评价
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【导语】
“双减”背景下，作业更需要指向学生的素养发展。开放性作业重点关注过程开放，能够清晰看出学生的认知思维水平。小学数学开放性作业的设计与评价包括四个方面：目标具体化，厘清单元核心概念的内涵；框架清晰化，制定表现性评价框架；过程开放化，呈现学生的数学思维；思维可视化，合理应用表现性评价框架及测评，诊断和优化教与学。
提高作业的质量已经成为当前非常重要的议题，也一直是难点。通过借鉴“创造有意义的学习经历”的教学观，提炼出“作为有意义的学习经历”的作业观，从“学习经历”的视角来认识和设计作业，有助于破解“作业负担”的难题。[1]作业或者评价要指向学生的素养发展，开放性作业是一个好的思考方向，其指条件、解法、答案具有多样性和不确定性，并具有开放性、灵活性、多变性、新颖性、趣味性等特点，对提高学生的数学素质，培养学生思维能力和创新精神具有不可忽视的作用。[2]
表现性评价评的是居于课程核心的、需要持久理解的目标，是在数学教学中需要指向深度理解与学习的关键概念。[3]因此，可以将表现性评价镶嵌于小学数学开放性作业的任务设计，精准评价学生对数学学习的理解。
基于以上的思考，开发指向核心概念的小学数学开放性作业路径主要从四个方面考虑：
目标具体化
小学数学开放性作业的设计首先需要理解单元核心目标的内涵，厘清学生达成目标的表现，并依据核心概念设计开放性的任务。
在人教版一年级上册第三单元“1-5的认识和加减法”中，教师设计了让学生用画图的方式表征加减法运算含义的开放性作业（如图1），目的是反馈学生是否理解加减法的含义。
图1-一年级开放性作业
这部分内容的核心目标是“初步理解加减法的含义”。加减法含义是什么？学生理解加减法的含义又有哪些表现？在教材中并没有给出明确的说明，主要是通过情境图，让学生初步理解加法和减法的意义，建构加法和减法的模型。[4]在本单元加减法模型主要涉及“添加型”、“拿走型”、“部分-部分-整体型”。而在模型（情境）、文字与符号之间的转换是促进学生理解运算意义有效的方法。因此，开放性作业设计的目标应指向学生对于加减法模型的理解，引导学生将“符号表征”转化成“模型（情境）表征”。
图2-学生画图表征2+3=5的含义
图3-学生画图表征5-3=2的含义
学生画图表征加减法含义的水平层次是不一样的。从图2可以看出，学生清晰、准确地表征了加法的两种模型：左边是“部分-部分-整体型”，小女孩左手拿了3颗糖、右手拿了2颗糖，合起来是5颗糖；右边是“添加型”，鱼缸里原来有2条金鱼，又倒进了3条，现在一共有5条鱼。根据表现性评价框架，其认知思维层次达到了水平3。在图3中，学生虽然画了两幅图表示5-3=2的含义，但都是表示从5个里边拿走了3个，还剩2个，都属于减法模型中的“拿走型”，没有表示出“部分-部分-整体型”。根据表现性评价框架，其认知思维达到了水平2。
可见，目标具体后，作业任务的设计与评价也变得具体和清晰，有利于教师在后续教学中进行调整和改进，比如加强“部分-部分-整体型”的教学。
框架清晰化
由于学生在解决问题时会选择不同的方法，由此，设计开放性作业则需制定清晰的表现性评价框架，从而准确地反映学生理解核心概念的认知思维水平层次。
四年级上册第二单元“公顷和平方千米”的核心目标是知道并理解公顷、平方千米与平方米之间的进率，初步形成1公顷的表象。在教学中，如何通过学生的开放性作业解答过程，诊断其目标的达成程度？构建清晰反映学生思维水平层次的表现性评价框架就显得尤为重要。相应的开放性作业如图4所示。
图4-四年级开放性作业
该题目需要学生结合已学的公顷和面积度量含义的相关知识来解答。常规的解题思路是：看1公顷里包含几块这样的西红柿菜地。但该阶段的学生尚未学习除数是多位数的除法，难以正确得到10000÷1250的结果。因此，学生会选择不同的方法：有的学生会通过估算得到近似的结果；有的学生根据运算的意义，把除法转化成乘法或减法；还有学生能关注“公顷”这一概念本质，从面积度量的角度解决。这就需要教师结合单元目标的内涵、SOLO分类理论及学生的认知思维制定表现性评价框架（见表1），对学生构建公顷表象可分为五个水平层次，便于清晰反映学生所处的思维水平。
表1-构建公顷表象的开放性作业水平层次表
过程开放化
过程的开放，在思维水平上具备“低门槛、多层次、大空间”的特点，满足不同学生的需求，让人人都获得有价值的数学教育。
三年级“万以内数的加减法”在第一学段“数与代数”板块中起着承上启下的作用。开放性作业（如图5）的设计，指向学生用画图、列式、文字等表征方式，将思考过程充分表现出来。有的学生先画示意图，然后用算式322-120-95＜322表示靠“长”能摆得下柜子和书桌，265-131-66＜265说明靠“宽”也能摆得下，最后用文字说明这样摆放中间留有通道，符合实际生活习惯，属于较高水平层次。
图5-三年级数学开放性作业
图6
在二年级上册第四单元“表内乘法（一）”中2-6的乘法口诀学习后，教材安排了“解决问题”的学习，目的是让学生学会在厘清数量关系的基础上，根据四则运算的意义选择不同的运算解决问题。为了评测学生对运算意义的理解情况，教师设计了开放题（如图7）。学生在解决问题的过程中，首先要理解3×4和3+4表示的含义，同时分析情境中的信息，并选择用图示、文字表征方式表示购买过程。而开放性作业为学生的思维表达提供了足够大的空间。
图7-二年级数学开放性作业
这类作业让学生有机会对自己的答案进行解释和判断，重在对数学问题的理解与表征，识别问题中涉及的各种数量关系，对信息的组织形成推测和猜想，评估答案和理性，采用合适的策略，以及对结果进行概括和一般化。[5]
思维可视化
开放性作业为学生提供了表达数学思考的机会，同时结合表现性评价框架，可以精准地看出学生思维层次，更好的为学生的学习服务。
比如在四年级“公顷”的开放性作业（如图4）中，学生的解答过程就可以清晰地反映出思维的过程。从图8和图9中可以看出，如果仅从答案上评价，结果是一样的，但从解答过程中可以看出两位学生的思维水平是不一样的。作品A是把除法转化成乘法计算得到结果，达到了水平3；而作品B则从面积度量本质的含义来解决问题，将“公顷”与“边长为100米的正方形”建立联系，说明学生已经构建了“1公顷”的表象，所处的思维水平也更高，达到了水平4。
图8 学生作品A
图9 学生作品B
再如，在五年级上册“小数除法”的教学中，为了解学生对于小数除法算理理解的情况，设计了开放性作业，让学生结合现实情境解释余数的含义，以了解学生所处的水平层次和存在的问题。
图10 五年级上册开放性作业
从这两位学生的作品（如图11和图12）可以看到他们的判断是正确的，都能把理由阐述清楚，但从阐述过程中可以发现，他们对小数除法算理理解的程度是不一样的。图11中，该生只能用商不变的性质解释；图12品中，该生能从数的意义来解释“55-54”表示的是55个0.1减去54个0.1，等于1个0.1，所以还剩0.1米。可以看出后者对于小数除法算理的理解更好。
图11
图12
综上，通过学生思维的过程和评价框架，可以精准把握学生学习所处的认知水平，借此可以有效地调整和改进教与学。
【参考文献】
[1] 陈罡.作业研究:从教学内容到学习经历——基于作业负担为中心的视角[J].教育理论与实践，2019(14)：50-52.
[2] 贾轩 曾小平. 小学与数学开放性作业的设计方法[J]. 教学与管理，2019(8) ：52-54.
[3] 章勤琼，阳海林，陈肖颖.小学数学教学中的表现性评价及其应用[J].课程·教材·教法,2021(3):83-89.
[4] 吴正宪,刘劲苓,刘克臣.小学数学教学基本概念解读[M].北京：教育科学出版社, 2014: 186-191.
[5] 蔡金法 刘启蒙. 如何设计开放式的评估题[J]. 小学数学教师，2017(6) ：4-8.
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